DIALOGO DEI MINIMI SISTEMI

Pentole, sugheri, piombi (seconda parte)

Valerio, il più piccolo del gruppo, ha condotto con grande senso di responsabilità tutte le fasi dell’esperimento scientifico: un piombo da pescatore galleggia su un sughero all’interno di una pentola piena d’acqua. Il nostro astuto ragazzino, dopo aver scrupolosamente segnato il livello dell’acqua, prende il piombo e lo fa cadere in acqua. Prima ancora di lanciare il piombo si possono prevedere alcune cose. Dato che adesso il sughero è stato alleggerito dal piombo,  ovviamente si solleva. Ma cosa accade al livello dell’acqua?
Dato che adesso il piombo è completamente immerso nell’acqua, esso farà alzare il livello. D’altra parte, adesso nell’acqua c’è meno sughero sommerso, e questo dovrebbe fare abbassare il livello. I due fenomeni sono simultanei e di verso opposto. Si compenseranno oppure uno dei due risulterà prevalente? Lasciamo la risposta al piccolo Valerio e al suo grido di vittoria non appena il livello si stabilizza.
Valerio: “Si è abbassato! Il livello si è abbassato! Non molto, ma si è abbassato!”. Si sente in queste parole tutto l’orgoglio di avere proposto l’esperimento cruciale.

Brunella: “L’avevo detto. E’ la spinta archimedea”
Gal: “In che senso? Tu che ne dici, Antonio?”
Antonio (citando a memoria e quasi recitando): “… Un corpo immerso in un fluido riceve…”
Gal: “Sì, ho capito che ti ricordi l’enunciato. Ma la domanda era un’altra. In concreto, come possiamo usare questo principio generale per spiegare il fenomeno che si è svolto sotto i nostri occhi? Troppo spesso voi ragazzi imparate a  memoria l’enunciato di un principio (come ad esempio il principio di inerzia o, come in questo caso, il principio di Archimede) ma non lo sapere riconoscere quando lo incontrate”.
Antonio: “Sì. Però la spinta archimedea mi  fa capire che, essendo la barca alleggerita, la spinta archimedea la fa un po’ salire”.
Gal: “Circa… vogliamo dire meglio? Vediamo la situazione iniziale. Il sughero sta in equilibrio e quindi quale principio vale?
Brunella: “Il principio di inerzia!”
Antonio (sempre recitando a memoria): “Un corpo persevera…”

Valerio: “Si è abbassato! Il livello si è abbassato! Non molto, ma si è abbassato!”.
Gal: “E tu perseveri nel vecchio vizio di citare a memoria gli enunciati senza coglierne il senso profondo”
Brunella: “Se il sughero è in equilibrio, la risultante di tutte le forze che agiscono su di esso è nulla”
Gal: “Vale a dire?”
Brunella: “Vale a dire che la forza verso l’alto (la forza archimedea) è uguale e contraria alla forza-peso”
Gal: “Adesso andiamo meglio. Per proseguire dobbiamo chiarire di quale forza-peso stiamo parlando e da cosa dipende la spinta archimedea”
Antonio: “Beh, la forza-peso è quella del sughero con sopra il piombo”
Gal (prende un pezzo di carta e comincia a scrivere): “Bene, indico con m la massa del sughero e con M la massa del piombo, per cui la forza verso il basso vale:     . Bene. E la spinta archimedea? “
Brunella: “E’ pari al peso dell’acqua spostata, vale a dire al peso che avrebbe la barca se avesse la stessa densità dell’acqua”.
Gal: “Sicura? La spinta archimedea agisce solo sulla parte immersa, non sull’intero volume del sughero e del piombo. Adesso chiamiamo con FA la forza archimedea, con d la densità dell’acqua e con V il volume della parte immersa. La forza quindi vale: .”
Valerio: “Ahi, ahi, quante formule! E chi ci capisce qualcosa?”
Gal: “Gai ragione. Facciamo allora qualche calcolo con carta e matita. E tu, Antonio, non precipitarti a prendere la calcolatrice. Ci basta qualche stima approssimata. Non dobbiamo ricorrere a calcoli troppo dettagliati che rischiano di farci perdere di vista, in questo momento, il ragionamento complessivo. Cominciamo con il piombo. Sulla superficie è impressa la scritta: 60, che significa che è di 60 grammi. Il sughero, che ha un volume molto più grande ma ha una densità ben più piccola, possiamo valutare che pesi 20 grammi. Dunque la forza-peso complessiva, arrotondando l’accelerazione di gravità come , vale:   
E’ meno di un Newton, in pratica un po’ meno di un etto. Ma allora anche la spinta archimedea sarà di 0,8 N. Il volume dell’acqua spostata sarà allora pari a:
  
Antonio: “Accipicchia, più della cilindrata del mio scooter!”
Gal: “Cosa succede quando buttiamo il piombo in acqua?”
Brunella: “Il piombo va sul fondo e fa alzare l’acqua di una quantità pari al proprio volume. Nel frattempo, come abbiamo già detto, la barca è diventata più leggera, e anche la forza archimedea necessaria a sostenerla è diventata minore.”
Gal: “Bene, adesso facciamo un altro po’ di calcoletti, ma niente paura. Non c’è niente di difficile, se le idee sono chiare. Adesso il peso è solo quello del sughero, che vale: . Di conseguenza, il volume della parte immersa si è ridotto ad un quarto, e vale:

Bene, la parte immersa è passata da 80 a 20 cm3. Molto meno della cilindrata del tuo scooter, Antonio.
Adesso  non ci resta che calcolare il volume del piombo. Come si fa a calcolarlo?”
Antonio: “Conosciamo la massa, che è di 60 grammi. Basterebbe conoscere la densità per risalire facilmente al volume.”
Gal: “Avete un’idea della densità del piombo?”
Antonio: “Deve essere piuttosto grande, se è vero che spesso si usa dire che una cosa è ‘pesante come il piombo’. Deve essere più denso anche del ferro.”
Gal: “Infatti è proprio così. Il ferro ha una densità di quasi . Credo di ricordare anche quella del piombo, ma nel dubbio in qualche cassetto devo avere, per puro caso, un manuale con alcune tabelle di dati fisici. Ecco qua: la densità del piombo vale . Adesso possiamo facilmente calcolare il volume del piombo. Forza, Antonio,  sotto con i calcoli”.
Antonio: “Devo fare una divisione,  .
E adesso come faccio  senza calcolatrice?”
Gal: “Uffa, Antonio, perché non approfitti di una circostanza favorevole?”
Antonio: “E’ possibile che tu ogni volta che devi fare calcoli trovi sempre delle circostanze favorevoli per semplificare i calcoli?”
Gal: “Beh, quasi sempre, diciamo. E’ un’abitudine che viene dalla consuetudine a fare stime, a valutare anche in modo approssimato il risultato di calcoli. In prima battuta basta spesso una valutazione dell’ordine di grandezza, talvolta con una sola cifra significativa. Poi con calma si possono trovare tutte le cifre necessarie. Torniamo al nostro calcolo. Che ne dici, Brunella?”
Brunella: “Se approssimo 11,4 con 12 l’errore è minimo e approfitto del fatto che 60 è un multiplo di 12. E il calcolo è presto fatto:   .”
Gal: “Bene, tirando le somme possiamo dire che:

1. a causa dell’immersione del piombo, il volume occupato dall’acqua aumenta di 5 cm3
2. a causa del sollevamento del sughero, il volume diminuisce di 60 cm3.

Dunque la parte immersa diminuisce complessivamente di 55 cm3. Questo spiega in definitiva perché il livello dell’acqua si è abbassato.”
Antonio: “Di molto poco, però…”
Gal (coglie la palla al balzo e ne approfitta per un’ultima stoccata: “Bravo, adesso calcoliamo allora, sulla base del dati approssimati che abbiamo trovato, di quanto si è abbassato il livello dell’acqua”.
Valerio (che, un po’ intimorito, è stato zitto tutto il tempo): “Mi sembra molto poco, forse meno di un centimetro”.
Antonio: “La pentola è in sostanza un cilindro, che ha raggio di base…” Valuta il diametro con il cosiddetto metodo spannometrico, facendo uso di un’unità di misura praticamente universale. “ Il diametro è circa una spanna, per cui il raggio è grosso modo di 10 centimetri.”
Brunella: “Allora l’area di base del recipiente vale approssimativamente:  . Dato che il volume di un cilindro è dato da area di base per altezza, l’acqua si è abbassata di:     ”
Valerio (rinfrancato per il nuovo successo): “L’avevo detto io: è meno di un centimetro!”
Gal: “In effetto l’abbassamento del livello non è grande, ma è sufficiente per essere osservato anche con i metodi grossolani che abbiamo utilizzato”.
Valerio: “Sai che ti dico? E’ bello fare la fisica in questo modo. Anche con mezzi di fortuna si possono fare osservazioni interessanti.”
Gal: “Sì, questo è uno dei principali ingredienti. Ma ce ne sono altri: una invincibile curiosità per cercare di capire i meccanismi che stanno dietro i fenomeni naturali che, in fondo, stanno sotto gli occhi di tutti. Purtroppo molti hanno perso quella caratteristica che ha a lungo accompagnato l’umanità nel suo progresso: il piacere di studiare i fenomeni naturali.”
Valerio: “A dirti la verità, non ho capito tutto quello che hai fatto, ma mi affascina la capacità che hai di sbrogliare le matasse come quella del sughero e del piombo”.
Gal: “Non devi credere però che questo sia una sorta di dono naturale: deve essere coltivato un po’ come si fa con una pianta da frutto. Richiede anche applicazione, sacrificio oltre che essere fonte di piacere. E ti dirò, una delle cose belle nel fare il fisico è che qualche volta non si riesce a distinguere il dovere dal piacere. E, di questi tempi, è un piccolo privilegio”
Valerio: “Gal, dimmi, da quanto tempo fai il fisico?”
Gal: “E’ una passione che è nata tanto tempo fa. Avevo 8 o 9 anni quando mi sono appassionato allo studio del cielo. Ero letteralmente affascinato dalle stelle, poi ho imparato un po’ per volta a distinguere le principali costellazioni, a riconoscere i pianeti… E poi questa passione si è via via estesa a tanti altri fenomeni naturali, e non mi ha più abbandonato, nonostante la mia età.”
Antonio e Brunella: “A proposito di curiosità: resta un ultimo aspetto della questione che ancora non abbiamo affrontato”
Gal (facendo finta di niente): “E sarebbe?”
Brunella: “Se dalla barca lanciamo anziché un pesante masso un tronco di legno, cosa succede stavolta al livello dell’acqua?”
Gal: “Stavolta c’è una rilevante differenza”
Valerio: “Già. Il legno non è certo pesante come il piombo”
Gal: “E, soprattutto, il legno ha una densità minore dell’acqua, per cui dopo che lo abbiamo gettato in acqua resta a galla, e non affonda come accade invece al piombo”
Antonio: “Il legno non affonda completamente, per cui l’acqua si alza meno. Anzi, anzi… l’acqua si abbassa ancora di più”
Gal: “Sicuro?”
Brunella: “Antonio, dimentichi un particolare importante: il piombo sulla barca produce una grande forza archimedea, per cui la barca si immerge per una parte notevole. Se invece a bordo c’è del legno, la barca è immersa molto meno. Insomma, la cosa non è poi così semplice”.
Gal: “Forse, per sciogliere il dubbio, basta fare una semplice considerazione. Il tronco, una volta gettato nell’acqua, sposta una quantità di acqua pari al proprio peso, esattamente come accadeva quando stava sulla barca. Non è cambiato assolutamente nulla. Per cui…”
Valerio: “... il livello dell’acqua non cambia. Adesso corro a prendere una pigna e rifaccio l’esperimento della pentola, mettendo  sul sughero la pigna al posto del piombo”.
Gal: “Bravo Valerio! Bisogna sempre verificare le ipotesi che si fanno a tavolino, almeno quando è possibile. Hai già la mentalità di un fisico. Mi raccomando, quando ti laurei in fisica chiamami quel giorno. Non so se ti occuperai di fluidi, di termodinamica o di galassie. Ma so che sarà una bella giornata anche per me.”   A.C.