SOLUZIONI DEI QUESITI DEL N.34

369.
 
Il funzionamento del circuito è descritto dalla seguente tabella:

Vediamo allora che la lampadina si accende in 5 casi su 8 possibili e la probabilità cercata è dunque di .      G.G.

370. Quando Brunella parte, alle ore 8,30, Antonio ha già percorso metà del tragitto, vale a dire 4.500 m, viaggiando quindi alla velocità di 9.000 m all’ora. I due si incontrano quando, complessivamente, hanno fatto i 4.500 m che li separano. Dato che la velocità di Brunella (che, ricordiamo, va in bicicletta) è doppia di quella di Antonio (che va a piedi), essi percorrono ogni ora 27.000 m, vale a dire il triplo dei metri percorsi dal solo Antonio. Dunque essi impiegano a percorrere 4.500 m un terzo del tempo impiegato da Antonio per percorrere da solo i 4.500 m fra le 8 e le 8,30. Si incontrano allora dopo 10’ dalla partenza di Brunella, quindi alle 8,40.  A.C.

371. Richiedere che la corona circolare abbia area doppia di quella del cerchio interno equivale ad affermare che l’area del cerchio maggiore sia tripla di quella del minore. Se R e r sono rispettivamente i raggi del cerchio maggiore e del cerchio minore allora dovrà essere , da cui  e la larghezza della corona è . La misura della larghezza della corona rispetto al raggio del cerchio interno è quindi .     G.G.

372. Notiamo anzitutto che i due orari, quello corretto dell’orologio di Franz e quello sballato del display del pullman, differiscono di un numero dispari: in altre parole, sono uno pari e l’altro dispari. Dato che l’unico numero primo pari è 2, ci sono solo due possibilità: o la situazione richiesta si verifica quando il display del pullman segna le 00:02, corrispondenti al numero intero 2, oppure quando è l’orologio di Franz a segnare le 00:02.
Precisamente, la differenza fra i due orari  è pari a 11 ore e 39 minuti.
Dunque, abbiamo le seguenti situazioni:

Il numero 1223 è primo, mentre 1139 è composto, essendo .
Dunque, l’unico orario in cui entrambi gli orologi indicano un numero primo è alle 00:02 (ora esatta!).   A.C.

373. Abbiamo che

I divisori di  sono allora tutti i numeri del tipo , con , , , . Vi sono dunque 9 casi per m, 5 casi per n, 3 per p e solo 2 per q, per un totale di  divisori.   G.G.

374. I numeri che rappresentano le età dei quattro figli non sono, attualmente, in proporzione. Fra n anni, tali numeri saranno ovviamente tutti aumentati di n, per cui dovrà valere la proporzione:

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, otteniamo con semplici passaggi:

Fra 9 anni, e la cosa certamente non sfuggirà al nostro Eulero, i suoi figli avranno rispettivamente 15, 18, 20, 24 anni, ed  immediato verificare che essi formano una proporzione.  A.C.

375. Si tratta di risolvere il sistema

La seconda equazione, all’apparenza così complessa, può però essere facilmente semplificata. Infatti il prodotto tra il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di due numeri è sempre uguale al prodotto dei due numeri! (Basta osservare che essi si ottengono dalla scomposizione in fattori primi dei due numeri prendendo rispettivamente gli esponenti minori tra quelli comuni e gli esponenti massimi tra tutti e che la somma tra il massimo e il minimo di due numeri è sempre uguale alla somma dei due numeri).
Il sistema diventa dunque

che ammette le soluzioni simmetriche  e . I numeri cercati sono quindi 18 e 40.    G.G.

376. Alcuni passaggi che si possono svolgere agevolmente con carta e matita vengono di seguito riportati (Apotema ama presentare i dati sotto forma di tabella):

Come si può notare, la differenza è molto piccola, difficilmente percettibile osservando i due numeri nella forma originaria. Anche stavolta Apotema ha scelto dei numeri piuttosto perfidi! La calcolatrice conferma la piccola differenza fra i due numeri: , di poco superiore a 0,3.  A.C.

377. Nel calendario attuale (calendario gregoriano, in uso dal 1582) si alternano tre anni volgari di 365 giorni con un anno bisestile di 366 giorni. In particolare, sono bisestili gli anni multipli di 4. Gli anni secolari (multipli di 100) sono però bisestili solo se sono multipli di 400 (per esempio gli anni 1700, 1800, 1900 non sono stati bisestili, mentre lo sono stati il 1600 e il 2000). Nell’arco di tempo che riguarda il problema possiamo però ignorare la questione riguardante gli anni secolari.
Indichiamo allora con A un anno volgare che inizia di lunedì e rispettivamente con B, C, D, E, F, G gli anni volgari che iniziano di martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato e domenica. Gli anni bisestili possono allora essere indicati con una coppia di lettere: la prima che indica l’anno volgare che coincide col bisestile fino al 28 febbraio e la seconda che indica l’anno volgare che coincide col bisestile dal 1 marzo in poi. Poiché lo scatto, dovuto al 29 febbraio, è di un giorno, si tratta sempre di lettere successive e vi sono quindi 7 casi possibili: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA. Dato che 365 diviso per 7 dà resto 1, se un anno volgare inizia con un certo giorno della settimana, l’anno successivo inizia col giorno successivo. Cominciamo dal caso in cui il primo dei tre anni volgari consecutivi si di tipo A. Otteniamo allora un ciclo di 28 anni:
         A, B, C, DE, F, G, A, BC, D, E, F, GA, B, C, D, EF,
         G, A, B, CD, E, F, G, AB, C, D, E, FG.
Il 2000 è iniziato di sabato e, secondo il nostro schema, è stato un anno del tipo FG e gli anni seguenti si sono succeduti secondo i tipi indicati nella tabella:

Un anno scolastico va dal 1 settembre al 31 agosto dell’anno successivo e quindi può essere individuato dalla coppia di lettere dei due anni a cavallo dei quali si viene a situare se il secondo anno è di tipo volgare (mentre occorrerebbero ben tre lettere se il secondo anno fosse di tipo bisestile!). Ecco allora che, come si vede immediatamente dalla tabella, l’a.s. 2006/2007 è del tipo GA. In effetti, l’a.s. 2000/2001 era pure del tipo GA, come osservato da Alessandro. Il prossimo a.s. GA sarà allora il 2017/2018. L’a.s. 2023/2024 non sarà invece di tipo GA, ma di tipo GAB! Occorre allora passare al ciclo successivo e quindi all’a.s. di 28 anni successivo al 2000/2001, e cioè all’a.s. 2028/2029! Date incredibili, a cui preferisco non pensare! Se invece Alessandro avesse voluto riciclare un’agenda per l’anno solare 2006, e cioè per un anno di tipo G, avrebbe dovuto utilizzare (vedi tabella) l’agenda dell’anno corrispondente al 2023 del ciclo precedente e cioè dell’anno .   G.G.

378. Conviene determinare direttamente la formula che dà la differenza fra due quadrati consecutivi, indicando con n ed n+1 tali numeri:
.
Dato che questa differenza deve valere almeno 1.000 (affinché si abbia un migliaio privo di quadrati perfetti), n dovrà valere almeno 500. Partendo da 500 cerchiamo allora i due quadrati consecutivi in grado di farci saltare un migliaio, e stavolta siamo piuttosto fortunati, dato che 500 e 501 rispondono alla nostra richiesta. Infatti:
5002=250.000   e    5012=251.001.
Dunque nel 251° migliaio (che va da 250.001 a 251.000) non ci sono quadrati perfetti.   A.C.

379. Le coordinate  e  del punto S, simmetrico di rispetto al centro , sono date da

come si ricava immediatamente osservando che C è il punto medio di PS.
Nel nostro caso avremo che

La distanza tra P e R è data allora da

.

Quello che, a prima vista, colpisce del problema è che il risultato non dipende dal punto scelto. In effetti, il prodotto di due simmetrie centrali di centri A e B, è una traslazione di vettore .
Nel nostro caso

 e         .   G.G.
380. Possiamo procedere calcolando la somma dei termini di ogni riga, cercando poi qualche tipo di regolarità. La somma dei termini della prima riga vale, come abbiamo visto più volte nei numeri precedenti de “Il Leonardo”: .
Gli addendi della seconda riga sono tutti doppi di quelli della prima riga, per cui possiamo calcolarne direttamente la somma:

Si procede allo stesso modo per la terza, quarta, … dodicesima riga, per cui la somma totale vale:

A.C.

381. Si tratta di determinare l’areadella regione di piano compresa tra la base della torre e la curva che il cagnolino può percorrere tenendo la catena tesa: un settore circolare di raggio  e ampiezza 240°, due settori di raggio  e ampiezza 60° e, infine, due settori di raggio  e ampiezza ancora 60°. Ricordando che l’area del cerchio di raggio R è data da , l’area cercata è data allora da:
.   G.G.

382. Ognuna delle biglie può essere collocata in due modi diversi: nella prima oppure nella seconda scatola. Con due biglie Letizia ha 22=4 modi, con tre biglie 23=8 modi, con  4 ne ha 24=16 e con 5 biglie ha complessivamente 25=32 modi. A questi però vanno tolti due casi: quello in cui tutte le biglie sono nella prima scatola e quello in cui sono tutte nella seconda. Restano quindi 30 modi possibili di collocare le biglie. Se invece le biglie non sono numerate, le possibilità di possono calcolare direttamente senza bisogno di molti calcoli: si possono infatti mettere 1 biglia nella prima scatola e 4 nella seconda, oppure 2 e 3, o ancora 3 e 2 e infine 4 nella prima e 1 nella seconda scatola: 4 modi in tutto per collocare le biglie nel caso siano indistinguibili. Come si può notare il numero di casi è notevolmente ridotto.   A.C.

383. Ricordiamo che, nel piano, il determinante di due vettori rappresenta l’area del parallelogramma compreso tra i due vettori quando questi hanno la coda in comune, presa col segno positivo se la rotazione più breve che porta il primo sul secondo è in senso antiorario e col segno negativo nel caso opposto. L’area del triangolo ABC è data allora dalla metà del valore assoluto del determinante dei vettori  e :
.
Ricordiamo anche che le coordinate del baricentro G di un triangolo ABC sono date dalle medie aritmetiche delle coordinate dei vertici:

Indichiamo ora con x e y le coordinate incognite del punto C. Si tratta di risolvere il sistema:

Abbiamo che  e  e la prima equazione diventa
;    ; ;

mentre la seconda equazione diventa
;   .
Se nella prima equazione prendiamo il segno “più”, otteniamo il sistema

che porta alla soluzione

Se invece prendiamo il segno “meno”, otteniamo il sistema

che fornisce la soluzione

L’esistenza di due soluzioni la si poteva dedurre da semplici considerazioni geometriche.   G.G.

384. Teniamo conto anzitutto che si tratta di un numero di 4 cifre. Determiniamo in via preliminare il numero di cifre necessarie a scrivere i numeri di 1, 2, e 3 cifre, che permettono di arrivare fino a 999.
Per scrivere i numeri di una cifra (da 1 a 9) servono ovviamente 9 cifre.
Per i numeri di due cifre (da 10 a 99) ne servono .
Per i numeri di tre cifre (da 100 a 999) ne servono .
Siamo finora arrivati quindi a 2889 cifre. I numeri di 4 cifre da 1000 (compreso) fino al numero n che rappresenta l’anno incognito sono  per un complesso di  cifre.
In totale i numeri fra 1 ed n hanno allora  cifre. Questo totale deve essere uguale a 3n, per cui possiamo scrivere la semplice equazione:  che risolta fornisce il valore . La cripta romanica quindi è stata costruita nell’anno 1107.  A.C.