I QUESITI DE “IL LEONARDO”

Jordanus Nemorarius fu uno studioso tedesco del XIII secolo che scrisse libri di aritmetica, algebra, geometria e astronomia, e fu tra i primi a usare le lettere al posto dei numeri nei calcoli algebrici. Juan de Ortega fu invece un matematico spagnolo, vissuto a cavallo tra il XV e il XVI secolo, che trovò un metodo originale per estrarre le radici quadrate. Infine, Jean Baptiste Joseph Fourier, famoso per aver utilizzato per primo le serie trigonometriche che portano il suo nome, partecipò alla spedizione napoleonica in Egitto. Che cosa hanno in comune questi tre personaggi? Apparentemente nulla, ma … Apotema si è accorto che hanno un incredibile legame numerologico: tutti è tre compirono x anni nell’anno somma dei primi x quadrati! Inutile dire che Geny, basandosi su queste informazioni e senza far ricorso all’enciclopedia o a Internet, è riuscito rapidamente a determinare le date di nascita di questi tre scienziati. Come ha fatto?

Piffy ha 20 biglie, delle quali 10 bianche e 10 nere, che deve mettere in due urne, che chiameremo A e B. Le deve collocare in modo che, scegliendo a caso una biglia da ognuna delle due urne abbia la massima probabilità di prenderne 2 bianche. Quante biglie (e di che colore) deve mettere rispettivamente nell’urna A e nell’urna B?

 Quanti sono i numeri di 6 cifre con 3 cifre pari e tre cifre dispari?

 
Leonardo lancia due dadi e prende nota ogni volta della differenza in valore assoluto fra i due numeri usciti (fa cioè la differenza fra il maggiore e il minore dei due numeri). Poi ci ha chiesto di rispondere alle seguenti domande:

• quanto vale il massimo valore che si può ottenere?
• quanto vale il minimo valore?
• qual è il valore più probabile?
• quanto vale in media il valore trovato da Leonardo?

Giriamo a voi le quattro domande.

La parabola gode della proprietà che la tangente in un suo punto forma angoli uguali col segmento congiungente il punto col fuoco (raggio focale) e con la parallela all’asse di simmetria per quel punto. Questa proprietà geometrica si traduce nella proprietà ottica della parabola di concentrare un fascio di raggi di luce paralleli all’asse di simmetria nel fuoco e, viceversa, di irradiare la luce uscente da una sorgente puntiforme collocata nel fuoco secondo un fascio di raggi paralleli all’asse di simmetria. Provate a usare questa proprietà per dimostrare che le due famiglie di parabole aventi lo stesso fuoco (confocali) e lo stesso asse di simmetria sono tali che ogni parabola di una famiglia interseca ogni parabola dall’altra famiglia ad angolo retto.

Siamo entrati alla fine delle lezioni nell’aula 4 del nostro Istituto, dove il professor Apotema aveva tenuto una lezione con i famosi allievi della sua classe. Erano andati via tutti, e alla lavagna abbiamo trovato questa equazione:    .
Si tratta nientemeno che di un’equazione di quarantottesimo grado. Aiuto! Secondo noi, si tratta di un problema adatto a Furby. Trovate, se esistono, le soluzioni di questa diabolica equazione.

Per quali valori del numero naturale n un triangolo avente i lati che misurano n, ,  è ottusangolo?

E’ celebre anche fuori dal nostro Istituto il logo del glorioso Istituto Tecnico “Leonardo da Vinci” di Carpi, che probabilmente ha scelto la propria denominazione in onore di una celebre rivista di giochi matematici. La domanda è: quanti triangoli ci sono nel nostro logo?
 

Una successione di numeri forma una progressione aritmetica se è costante la differenza tra un numero e il precedente. Quali possibili valori assume il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto minore di un triangolo rettangolo
a) i cui lati sono in progressione aritmetica?
b) i cui angoli sono in progressione aritmetica?

Nel giorno in cui esce questo numero de “Il Leonardo” Renato  compie gli anni: auguri! Cogliamo l’occasione per proporre ai nostri lettori un quesito. Due anni fa la sua età era uguale alla somma delle cifre del suo anno di nascita. Quanti anni compie quest’anno Renato?
 
Dati n oggetti distinti, in quanti modi diversi posso prenderne un numero dispari?

Dimostrare che un trapezio isoscele non è circoscrivibile ad una circonferenza se il lato obliquo è uguale ad una delle basi.

Risolvere il sistema 

Una ditta di ceramica di Sassuolo ha messo in commercio una mattonella di forma quadrata di colore bianco con al  centro un disegno formato da quattro foglie verdi, come indicato in figura. Il responsabile commerciale deve ordinare una opportuna quantità di colore, che dipende ovviamente dalle dimensioni delle mattonelle, dal numero di mattonelle e dalla quota di mattonella dipinta di verde. Il responsabile ci ha chiesto di calcolare quest’ultimo dato: quale è la percentuale dell’area di ogni mattonella dipinta di verde?

È possibile costruire una casa a base quadrata con le pareti rivolte tutte a Nord?

Nella fabbrica di crackers di Springfield ci sono due cancellate, delle quali la prima è lunga il doppio della seconda. Una squadra di operai è stata incaricata di dipingere entrambe le cancellate. Il lunedì tutti i verniciatori lavorano a dipingere la cancellata più grande, ma non riescono a completare il lavoro. Il martedì si suddividono in due gruppi uguali. Il primo prosegue la verniciatura della cancellata grande e l’altro si dedica a dipingere quella piccola. Hanno finito? Quasi: la cancellata maggiore è finita, ma resta da completare ancora una parte di quella piccola. Al mercoledì un operaio deve tornare e impiega l’inera giornata per completare il lavoro. Supponendo che tutti gli operai lavorino con la stessa velocità, da quanti verniciatori era composto il gruppo?

Il miglio nautico è definito come la lunghezza di un primo di latitudine. Supponendo che la terra sia perfettamente sferica e che il metro corrisponda esattamente alla decimilionesima parte della distanza da un polo dall’equatore, quanti metri misura un miglio nautico?

Archimede Pitagorico ha inventato un veicolo volante alimentato con una nuova fonte di energia, in grado di percorrere nel primo secondo un metro. Poi, ad ogni metro percorso raddoppia la velocità. Grandioso! Quanto tempo impiega il veicolo a percorrere 100 metri? Non contento, il nostro inventore lo sperimenta su un percorso di 750 chilometri, da Modena fino ad Heidelberg. Quanto tempo impiega stavolta il veicolo?