CONSIDERAZIONI E RIFLESSIONI

Problemi di accoppiamento (“Honnit soit qui mal y pense”) ovvero “Edge matching puzzles” – Parte 1

Il gioco e le sue regole

 Come si vede dalla fig. 1, il gioco è costituito da sei esagoni, ai lati di ciascuno di quali è associato un numero;dovrebbe inoltre esistere un analogo esagono posto nella posizione centrale. Il gioco consiste nel trovare una disposizione degli esagoni nella quale i lati comuni abbiano gli stessi numeri associati (siano cioè accoppiati, da cui la ragione del titolo, ed anche la denominazione del gioco in inglese “PAIR-IT”)
In fig. 2 è illustrata la soluzione (con annesso il pezzo centrale mancante in fig. 1
Sono possibili delle varianti. In fig. 3 è illustrato un altro puzzle “ARC-EN-CIEL” (Arcobaleno) nel quale gli esagoni sono sostituiti con dei dischi sui quali sono disposte delle losanghe colorate (la struttura base è quella di un quadrato e non di un esagono). Anche qui si tratta di ruotare i dischi in modo tale che le losanghe si accoppino in base a determinate criteri ma a differenza del “PAIR IT” qui la regola è piuttosto di non accoppiamento, in quanto si richiede che non ci siano mai due colori identici affiancati e ancora se una coppia di colori  appare in una riga, non può essere ripetuta nella stessa riga  (idem per le colonne). Purtroppo la limitazione della stampa in bianco e nero non permette di mettere bene in evidenza le differenza tra i vari colori.
Le tre figure sono state tratte dal volume “New book of puzzles” di Slocum e Botermans – ed. W.H.Freeman and Company. E’ un volume che consiglio vivamente agli appassionati di puzzles e che si può reperire facilmente via Internet su AMAZON.
Torniamo al problema degli esagoni. Intanto osserviamo che:
La disposizione delle cifre nei sette esagoni è diversa dall’uno all’altro. Quindi le cifre rappresentate su ciascun esagono sono una permutazione di 6 oggetti.
Se alle cifre dei sette esagoni viene applicata la stessa permutazione si ottiene una disposizione ugualmente valida ( anche se diversa da quella di fig.2)
Siccome in questo caso le permutazioni sono circolari, in quanto i 6 numeri sono disposti lungo una circonferenza, sono possibili (vedere la formula delle permutazioni circolari) 5! = 120 versioni diverse della fig.2. In effetti gli esagoni che compaiono nelle fig. 1 e 2 sono diversi.
Nel volume citato, dopo alcuni consigli su come reperire o come costruirsi gli esagoni, si raccomanda di seguire accuratamente la numerazione dell’esempio diversamente il problema potrebbe risultare insolubile.
A questo punto sorgono spontanee alcune domande (almeno per un matematico):
Perché sono state scelte proprio quelle 7 permutazioni?
Esistono altre scelte delle permutazioni che rendono possibile la soluzione del gioco?
E’ possibile indicare una strategia che permetta di risolvere il gioco?
Dopo essermi inutilmente scervellato nell’analisi delle permutazioni dell’esempio, nel tentativo di trovarvi una qualche simmetria, mi si è, come si suol dire, “accesa la lampadina”, ed ho deciso di affrontare il problema dal punto di vista opposto, cioè provare a costruire una combinazione di esagoni partendo da una struttura vuota.
In base a quanto osservato in precedenza, si può sempre assumere che la disposizione dei numeri nell’esagono centrale sia la seguente (vedere fig. 4).
A questo punto si tratta di sistemare i numeri da 1 a 6 sui 6 lati comuni rispettando ovviamente la condizione di non creare doppioni all’interno di uno stesso esagono. E’ immediato che ciò può essere fatto in più di un modo. Una volta sistemati questi numeri, gli altri che mancano in ciascun esagono possono essere sistemati a piacimento sui lati “liberi”, cioè non appaiati.Nelle figure 5 e 6 sono raffigurate due possibili soluzioni. Non ho indicato i numeri sui lati liberi in quanto, come osservato in precedenza, sono ininfluenti. Si potrebbero anche considerare identiche due soluzioni che differiscano solo nella distribuzione dei numeri perimetrali.Notiamo ancora che, siccome in ciascun esagono i numeri perimetrali possono essere distribuiti in 3! = 6 maniere diverse, in totale, essendo gli esagoni sei, per una soluzione “base” si hanno 66 = 46.656 soluzioni equivalenti.

Una domanda interessante che ci si può porre è: quante sono le configurazioni base? Tentiamo di dare una risposta.
Osserviamo che:
Gli esagoni che si possono preparare sono le permutazioni circolari di 6 oggetti distinti. Quindi: 5! = 120;
Eliminiamo la permutazione identica che è quella che va al centro. Ne restano 119;
I gruppi di esagoni che si possono mettere attorno sono tutti i gruppi che si possono formare prendendo 6 elementi distinti tra le permutazioni precedenti (l’ordine non ha importanza) cioè le combinazioni semplici di 119 oggetti di classe 6, ossia  ;
Queste però sono tutte le combinazioni. Le combinazioni di base dovrebbero quindi essere: 
Questo ultimo risultato non è però intero.
L’unica spiegazione che sono riuscito a trovare per questo fatto è che  non tutte le combinazioni diano origine ad un problema risolubile.
Purtroppo non sono riuscito a trovare una strategia che permetta di stabilire se una determinata permutazione dà origine ad un puzzle risolubile oppure no.
Estensioni e generalizzazioni
Ricordo che quando ero un bambino di 6 o 7 anni, e mia madre mi portava dal medico, la sala d’aspetto era piastrellata di mattonelle di gres rosso esagonali. Prima di tutto rimasi non dirò sconvolto, ma certamente stupito che fosse possibile ricoprire un pavimento con qualcosa di diverso da un quadrato. Più avanti mi arrovellavo per il fatto che venissero trascurati gli altri poligoni regolari. Resta comunque il fatto che per me la vista di un insieme di esagoni affiancati evoca un pavimento con la relativa periodicità. Di qui una domanda:
Sarà possibile costruire un pavimento di piastrelle esagonali con i lati numerati in modo tale che presa una qualsiasi piastrella come centro, quelle che la circondano soddisfino alle condizioni del “PAIR-IT” ?
Non ho idea di come affrontare il problema e penso che non sia neppure un problema facile. Può pero darsi che il problema sia stato affrontato nell’ambito della teoria dei gruppi e delle simmetrie.
Veniamo ora ad un’altra generalizzazione, che mi è venuta per associazione di idee pensando ai problemi di pavimentazione.
Il poligono regolare più usato per “pavimentare” una superficie piana è il quadrato. E’ però possibile usare anche altri tipi di poligoni e precisamente l’esagono ed il triangolo equilatero.
Oss. Non è possibile usare nessun altro poligono regolare in quanto se si accostano delle piastrelle poligonali è necessario che l’angolo interno del poligono sia un divisore di 360. Nella tabella sottostante sono indicati gli angoli interni dei primi cinque poligoni regolari.

In realtà è inutile andare oltre l’esagono in quanto è facile verificare che se il numero dei lati è superiore a sei l’angolo interno supera 120° e quindi l’accostamento al vertice di tre poligoni porta inevitabilmente ad una sovrapposizione.

Il problema che mi sono posto è se sia possibile con triangoli equilateri e quadrati numerare i lati dei poligoni in modo che i lati combacianti abbiano lo stesso numero.
Triangolo equilatero
Il caso del triangolo equilatero è particolarmente semplice. Infatti esistono solo 2! = 2 permutazioni circolari di tre oggetti, che corrispondono alle due possibilità  di numerare i lati: una in senso antiorario e l’altra in senso orario.
In fig. 9 è rappresentata una soluzione.Come si può osservare si tratta di una permutazione Antioraria circondata da tre permutazioni orarie. E’ ovviamente possibile costruire un’altra soluzione che abbia al centro la permutazione oraria circondata da tre antiorarie. Il lettore che se la senta può costruire alcuni triangoli di cartoncino con i due tipi di soluzioni e verificare che è possibile piastrellare, a questo modo tutto il piano. Scelta una piastrella a caso, se questa è di tipo orario,  è circondata da piastrelle antiorarie e viceversa.
Se invece che ad una piastrella, si fa riferimento al vertice di un triangolo, nel quale ne convergono altri cinque, si vede che si alternano in successione una piastrella antioraria ed una oraria.
Quadrato
Solo un breve cenno, per il momento, al caso del quadrato  che è un po’ più complicato in quanto le permutazione circolari di quattro oggetti sono 3! = 6 e quindi vi sono diverse possibilità di scelta.
Siccome lo spazio è un po’ tiranno (è una scusa; in realtà non ho avuto il tempo di approfondire l’argomento)  mi limiterò ad accennare all’impostazione di una soluzione.
 Mi riprometto di tornare sull’argomento in quanto mi sembra di avere intravisto alcuni spunti che paiono abbastanza interessanti e promettenti.
La figura che si ottiene accostando i quadrati è la seguente:
Come si vede, non essendoci altri lati da accoppiare, è possibile costruire diverse soluzioni.

Per il momento chiudo qui la trattazione e prometto di ritornare più estesamente  sull’argomento la prossima puntata.  

G.B.