SOLUZIONI DEI QUESITI DEL N.24

251. Inutile dire che Apotema, nonostante la non più giovane età, ha risolto subito il problema (e ne ha approfittato per fare una delle sue memorabili lezioni!). Per prima cosa ha osservato che tutte le scritte BUONNATALE terminano nell’unica E dell’albero.

Conviene quindi partire da quell’unica E e pensare di leggere la parola ELATANNOUB (BUONNATALE a rovescio!). Ci sono due tipi di percorsi possibili: spostarsi ogni volta di una lettera in alto (A) o a destra (D) oppure in alto (A) o a sinistra (S). Per esempio nella figura è evidenziato il percorso AADDADAAD. Ogni percorso del primo tipo che parte dalla lettera E è quindi descritto da una sequenza di 9 lettere, ciascuna delle quali è una A oppure una D. Poiché ad ogni passo ci sono due possibili scelte il numero totale di questi percorsi è dato da . Altrettanti sono quelli del secondo tipo, ciascuno dei quali è descritto da una sequenza di 9 lettere A o S. Osserviamo però che non si tratta di insiemi disgiunti, perché la sequenza AAAAAAAAA, a cui corrisponde la scritta che parte dalla B che fa da “puntale”, appartiene ad entrambi i tipi di percorsi. I modi diversi di leggere la scritta BUONNATALE sono dunque .G.G.

252. Dato che c’è una sola possibile scomposizione, il numero ha solo due fattori primi. Uno dei fattori ha una sola cifra, e quindi può essere solo 2, 3, 5 oppure 7. Con i noti criteri di divisibilità si constata facilmente che il numero 69.811 non è divisibile né per 2, né per 3, né per 5. La preziosa informazione dataci da Gerhard ci assicura allora che il fattore di una cifra può essere solo 7. Facendo la divisione (con carta e matita!) si trova . Se ora andiamo a consultare le tavole numeriche o scriviamo un semplice programma al computer, possiamo facilmente constatare che anche 9.973 è un numero primo.   A.C.

253.Escludendo le ore 00, per ciascuno dei numeri 01, 02, 03, 04, … , 23 che rappresentano le ore dobbiamo considerare solo i numeri di minuti che sono un divisore della corrispondente ora. Per esempio nel caso delle ore 06 considereremo solo gli orari 06:01, 06:02, 06:03, 06:06.

Nella seguente tabella è indicato sotto ciascuno dei primi 23 numeri il numero dei suoi divisori.

La somma dei numeri della seconda riga è 76, che è anche la risposta al problema.  G.G.

254. Il quesito posto dal nostro amico australiano equivale alla seguente disequazione: .
C’è un modo veloce per risolverla: dato che il prodotto è negativo, i due fattori devono avere segno opposto. Ma allora  e . Questo è possibile solo se t è compreso fra  e . Essendo t un numero intero, non può che essere . Possibile? Certo, dato che in Australia il mese di agosto è in pieno inverno.   A.C.

>

255.Dobbiamo calcolare la somma delle cifre del numero , dove , mentre . Cerchiamo di scrivere a e b in forma più compatta osservando che

da cui

.

Il secondo fattore, che riscriviamo come , lo calcoliamo a mano:

Calcoliamo poi la divisione per 9:

E poi il prodotto per 4

Inutile poi moltiplicare per 10, perché le cifre risultano semplicemente spostate a sinistra di un posto e compare uno zero a destra, che non cambia il valore della somma.

Abbiamo così ottenuto un numero con  cifre 4, una cifra 3, 2003 cifre 5 e una cifra 6.

La somma delle cifre è data allora da

. G.G.

256. E’ sufficiente che la circonferenza circoscritta al quadrato sia inscritta al triangolo equilatero, come mostra la figura.

Se il lato del quadrato vale 1 metro, la sua diagonale è pari a , e dunque il raggio della circonferenza è di . Il centro della circonferenza si trova nel baricentro del triangolo equilatero. Come è noto, ogni mediana viene suddivisa dal baricentro in due parti delle quali quella nel verso del vertice è il doppio dell’altra. Quindi l’altezza del triangolo vale . Per una nota formula, il lato del triangolo equilatero si trova dividendo l’altezza per . Il lato del triangolo equilatero vale di conseguenza:

    A.C.

257. Cominciamo a calcolare le prime derivate:

;

;

;

;

;

…

Osserviamo che l’esponente di  a denominatore è uguale all’ordine della derivata. Il numeratore invece risulta positivo per le derivate di ordine dispari e negativo per quelle di ordine pari. Inoltre esso si ottiene moltiplicando ogni volta il numeratore della derivata precedente per l’esponente del vecchio denominatore ed è quindi uguale al prodotto dei numeri da 1 all’ordine della derivata meno 1. Congetturiamo quindi che sia

,

dove il fattore  vale 1 per n dispari e  per n pari.

Possiamo verificare che la formula è esatta ricorrendo al principio di induzione.

Per  otteniamo infatti , in accordo coi calcoli precedenti e la base è quindi verificata.

Supponendo vera la formula per n  abbiamo poi che

che è proprio la formula corrispondente a .

Per  otteniamo quindi

.    G.G.

258. Se scriviamo l’equazione proposta nella forma:

vediamo chiaramente che si tratta di trovare due interi tali che la differenza dei loro quadrati sia uguale a 13. Possiamo anche vedere che, essendo ovviamente 2n un numero pari, m dovrà essere un numero dispari.

Conviene, trattandosi di piccoli numeri, procedere per enumerazione e scrivere l’elenco dei quadrati dei primi numeri naturali:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64…

Ci fermiamo qui perché la differenza fra i due ultimi quadrati vale già 15, e nel seguito aumenta ad ogni termine.

L’unica coppia di quadrati la cui differenza vale 13 è data da 36 e 49. Di conseguenza abbiamo:

da cui si ricava  3 .

L’unica coppia che soddisfa la condizione richiesta è pertanto (7,3).   A.C.

259. Dopo due ore la prima candela ha ancora 3 ore di autonomia e si è ridotta ai  della lunghezza iniziale, mentre alla seconda resta ancora un’ora e mezza da bruciare, cioè ancora 3 mezz’ore dopo le 4 mezz’ore trascorse, ed è quindi ai  della lunghezza iniziale. Se indichiamo con a e b le lunghezze iniziali delle due candele, l’uguaglianza delle lunghezze dopo due ore implica che , da cui .   G.G.

260.Ogni partita finita con la vittoria di una squadra comporta in classifica 3 punti per la vincitrice e 0 per la sconfitta, per un totale ovviamente di 3 punti. Una partita in pareggio produce invece  punti complessivi per le squadre interessate.

I dati forniti dal quesito portano i seguenti elementi:

• sono state giocate in tutto 30 partite
• sono stati assegnati complessivamente 90 punti.

Dunque, tutte le partite hanno comportato 3 punti, e non ci sono stati pareggi.   A.C.

261. Tra le 18 e le 19 la lancetta delle ore è tra la tacca delle 6 e quella delle 7. Questo significa che quando Antenore ha terminato di lavorare, e cioè tra le 21 e le 22, la lancetta dei minuti, occupando la posizione che prima era della lancetta delle ore, si trovava anch’essa tra la tacca delle 6 e quella delle 7. Dunque Antenore ha terminato il lavoro tra le 21:30 e le 21:35. Analogamente possiamo affermare che quando Antenore ha iniziato il lavoro la lancetta dei minuti si trovava tra la tacca delle 9 e quella delle 10, e ciò è avvenuto tra le 18:45 e le 18:50. Il problema è allora quello di determinare un istante tra le 18:45 e le 18:50 e un altro istante tra le 21:30 e le 21:35 nei quali le lancette delle ore e dei minuti risultano esattamente scambiate. Il primo istante sarà avvenuto x minuti dopo le 18:45, mentre il secondo istante y minuti dopo le 21:30. Sappiamo che la lancetta dei minuti ruota alla velocità di 6° al minuto e quella delle ore alla velocità di 30° all’ora, e quindi di 0,5° al minuto. Quando sono passati x minuti dalle 18:45 la lancetta dei minuti forma un angolo di  gradi rispetto alla tacca delle 9, mentre la lancetta delle ore forma un angolo di  gradi rispetto alla tacca delle 6. Quando invece sono passati y minuti dalle 21:30 la lancetta dei minuti forma un angolo di  gradi dalla tacca delle 6, mentre la lancetta delle ore forma un angolo di  gradi dalla tacca delle 9. Lo scambio delle lancette equivale allora al sistema

che possiamo riscrivere nella forma

e che ammette la soluzione

Possiamo quindi concludere che gli istanti di tempo in cui le lancette si sono scambiate sono rispettivamente le ore  e le ore . Arrotondati al secondo i due istanti sono rispettivamente le ore 18:47:50 e le ore 21:33:59. Accontentandoci poi di un arrotondamento al minuto possiamo dire che Antenore ha iniziato a lavorare alle 18:48 e ha terminato alle 21:34.  G.G.

262. Se sommiamo le aree dei cinque settori circolari, ognuno dei quali è pari a un quarto di cerchio di raggio rispettivamente 3, 6, 7, 7, 3 metri, si ottiene la seguente area totale:

   A.C.

263.Geny, nella sua disperata ricerca di una semplice relazione tra i numeri 25122003 e 1234, ha provato a fattorizzarli. In particolare ha trovato che  e, con sua grande gioia, si è subito accorto che la somma dei fattori primi fa proprio 1234! Dunque 1234 è la somma dei fattori primi di 25122003. Ebbene sì, Apotema è rimasto senza parole!  G.G.

264.< Indichiamo con ABCDEF i vertici dell’esagono regolare. Senza perdere di generalità, supponiamo che uno dei vertici scelti sia A. Facciamo un elenco dei triangoli che si possono ottenere, suddividendoli fra equilateri, isosceli e scaleni.

• Equilateri: ACE
• Isosceli: ABC, ABF, AEF
• Scaleni: ABD, ABE, ACD, ACF, ADE, ADF

Le probabilità risultano dunque le seguenti:

equilatero 10%, isoscele 30%, scaleno 60%.   A.C.

265. L’idea è quella di vedere la stella come differenza di un pentagono con 5 triangoli isosceli (vedi figura).

Consideriamo uno dei triangoli isosceli di vertice il centro del pentagono e base un lato e mandando l’apotema. Troviamo che il lato misura , mentre per l’apotema ricaviamo . L’area del triangolo vale quindi .

Per l’area del pentagono otteniamo quindi il valore  .

Per quanto riguarda l’area dei triangoli isosceli che si ottengono come differenza del pentagono con la stella, osserviamo che gli angoli alla base, essendo un terzo degli angoli del pentagono, misurano 36°, e che l’angolo al vertice misura quindi 108°.  La base è il lato l del triangolo, mentre per l’altezza si ottiene il valore .

L’area di ciascun triangolo è allora

e l’area della stella è data allora da

.

Ricordando che  e  e sostituendo nella formula trovata ricaviamo che

.

La stella disegnata da Antenore ha un diametro di  e quindi un raggio , da cui

 G.G.

266. Procediamo in modo un po’ artigianale, formando una tabella nella quale, per alcune delle lampadine indichiamo gli interruttori che le fanno cambiare di stato e anche il valore dello stato finale.

Si può notare che restano accese solo le lampadine che sono comandate da un numero dispari di interruttori. Ciò significa che il numero d’ordine della lampadina deve avere un numero dispari di divisori. Gli unici numeri naturali con questa proprietà sono i quadrati perfetti. Dunque, le uniche lampadine che alla fine sono accese sono quelle con i numeri: 1, 4, 9, 16, 25, 36 e 49.   A.C.