UNA DOMANDA UNA RISPOSTA

Come si ricava la formula del radicale doppio?

Si chiama radicale doppio un’espressione del tipo , con a e b razionali. In alcuni casi fortunati esso si può esprimere mediante radicali semplici, ossia nella forma , dove p e q sono pure razionali. Consideriamo ad esempio l’espressione . È molto facile calcolarne il quadrato: . Più difficile è procedere a ritroso, e cioè ricavare che partendo dall’espressione . Possiamo procedere per tentativi, ma non è sempre facile stabilire per questa via se un radicale doppio è esprimibile come somma di radicali semplici.

Un’analisi del problema conduce all’identità

detta appunto formula del radicale doppio che, nel caso in cui sia il quadrato di un numero razionale, consente di risolvere il problema. Se proviamo ad applicare la formula al radicale doppio troviamo che

.

Ne segue che .

Una volta trovata, la formula del radicale doppio si può verificare facilmente elevando al quadrato ambo i membri. A sinistra otteniamo , mentre a destra

.

La domanda è come si possa ricavare tale formula senza limitarsi a farne una semplice verifica.

Se facciamo il quadrato dell’espressione otteniamo che , da cui .

Va osservato che, nel caso in cui si prenda il segno meno, quest’ultima uguaglianza vale solo se , e cioè se . Ad esempio , ma non possiamo scrivere che , perché . L’uguaglianza giusta in questo caso è allora .

Supponiamo ora di partire dall’espressione . Riusciremo ad esprimere il radicale doppio come somma di radicali semplici se riusciremo a trovare due numeri razionali p e q tali che

ovver o

Di necessità dovrà allora essere (ovviamente anche b!).

Si tratta di trovare due numeri p e q la cui somma vale e il prodotto . Come è noto dalle proprietà delle radici di un’equazione di 2° grado, basta risolvere l’ equazione ausiliaria.

Abbiamo che e, se il radicale doppio è davvero esprimibile come somma di radicali semplici, sarà poi

,

da cui .

Possiamo quindi assegnare arbitrariamente i due valori trovati per t ai numeri p e q ottenendo in ogni caso l’uguaglianza

.

Nel caso del segno meno, il sistema che definisce p e q è identico ma, dovendo essere , abbiamo necessariamente che e , da cui

. G.G.